Hur räknar man integraler
•
Integraler är en matematisk operation som du utför på en funktion. Med hjälp av en integral beräknar du exempelvis arean mellan en kurva och x-axeln i ett intervall. Därför kan du använda integralen till att beräkna olika typer av areor. Dessutom kan du använda dem för att beräkna volym, längd, hastighet, acceleration och kraft.
Nedan går vi igenom de olika teoriområden som är viktiga för att du skall förstå integraler. Med andra ord kan du använda texterna nedan för att få en överblick av integraler.
Primitiva funktioner
En viktig förkunskap för att förstå integraler är primitiva funktioner. Det beror på att dessa funktioner används vid beräkningar av integraler.
En primitiv funktion F(x) är den funktion vars derivata är lika med funktionen f(x). Som ett resultat av det så kallas primitiva funktioner ofta för ”baklängesderivata” eller ”antiderivata”.
Integralkalkylens fundamentalsats
Den matematiska satsen som du använder för att beräkna integr
•
Integral
Räkneexempel och förklaringar för integraler
Exempel: \int_0^6 (x-2) dx
Svar: 6
Förklaring: När man vill beräkna en integral av en funktion, så måste man först hitta den primitiva funktionen till integralen! I det här fallet har vi funktionen f(x) = x-2 som vi vill hitta den primitiva funktionen på. Vi kan använda regeln att g(x) = x^a \implies G(x) = \frac{x^{a+1}}{a+1}
Detta ger att vår funktion har den primitiva funktionen F(x) = \frac{x^2}{2} - 2x.
Bra! Nu behöver vi veta vad vi ska stoppa in för värden i den primitiva funktionen. Vi har ju att \int_a^b f(x) = F(b) - F(a) så det vi måste göra nu är att identifiera a och b. Den nedre gränsen av integralen är a, vilket i uppgiften är 0, så vi har att a = 0. Integralens övre gräns är b, vilket i uppgiften är 6.
Alltså har vi b=6. Kvar är nu bara att stoppa in dessa i den primitiva funktionen: F(b) = F(6) = \frac{6^2}{2} - 2 \cdot 6.
Vi börjar med att förenkla första termen:
\frac{6^2}{2} = \frac{36}{2} = 18.
•
Räkneregler för integraler
I Matte 3-kursen introducerade vi begreppet integraler och såg hur man kunde beräkna en primitiv funktion utifrån en känd funktion. Vi såg även hur man kunde använda integraler för att underlätta beräkning av areor.
I det här avsnittet ska vi utöka vår kunskap om primitiva funktioner och lära oss ett antal användbara räkneregler för integraler.
Några nya primitiva funktioner
Sedan vi tidigare studerat hur vi kan komma fram till de primitiva funktionerna till ett antal vanligt förekommande funktioner, har vi introducerat ytterligare några funktioner, vars primitiva funktioner vi i det här läget gärna vill kunna beräkna.
Allmänt gäller att en funktion F(x) är en primitiv funktion till f(x) om
$$F'(x)=f(x)$$
Eftersom konstanttermer faller bort då man deriverar en funktion, kan funktionen f(x):s primitiva funktion allmänt skrivas som F(x) + C, där C är en konstant.
De specifika funktioner som vi vill kunna beräkna primitiva funk